A. TANIM
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
i) f ± g: A Ç B ® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.
Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.
Ü
Ü (f – 1) – 1 = f dir.
Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Ü B Ì IR olmak üzere,
Ü B Ì IR olmak üzere,
G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
birebir ve örten fonksiyon,birebir ve örten fonksiyon örnekler,fonksiyon,matematik,örten fonksiyon
A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.
Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
biçiminde de gösterilir.
Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.
B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
f ve g birer fonksiyon olsun.
f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
i) f ± g: A Ç B ® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f . g: A Ç B ® IR
(f . g)(x) = f(x) . g(x)
C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1. Bire Bir Fonksiyon
Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
" x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2. Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.
3. İçine Fonksiyon
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.
4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur.
Ü Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
5. Sabit Fonksiyon
Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
Ü "x Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.
6. Çift ve Tek Fonksiyon
f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
D. EŞİT FONKSİYON
f : A ® B
g : A ® B
"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
F. TERS FONKSİYON
f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
Ü Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır.
Ü f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = dır.
Ü
Ü (f – 1) – 1 = f dir.
Ü (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.
Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Ü B Ì IR olmak üzere,
Ü B Ì IR olmak üzere,
G. BİLEŞKE FONKSİYON
1. Tanım
f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
(gof)(x) = g[f(x)] tir.
2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
fog ¹ gof
birebir ve örten fonksiyon,birebir ve örten fonksiyon örnekler,fonksiyon,matematik,örten fonksiyon